Задача
GEO-B2-M10-P003 Точка на общей хорде
#3
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точках \(A,B\). Точка \(P\) лежит на прямой \(AB\). Прямая через \(P\) пересекает \(\omega_1\) в \(X,Y\), а другая прямая через \(P\) пересекает \(\omega_2\) в \(U,V\). Докажите, что \(PX\cdot PY=PU\cdot PV\).
Прямая \(AB\) — радикальная ось этих окружностей.
Точка \(P\) лежит на радикальной оси, значит её степени относительно \(\omega_1\) и \(\omega_2\) равны. По определению степени получаем \(PX\cdot PY=PU\cdot PV\).
Стандартная связка: общая хорда означает радикальную ось.