Задача
GEO-B2-M10-P008 Три радикальные оси
Окружности \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\) попарно пересекаются: \(\omega_1\) и \(\omega_2\) в \(A,B\), \(\omega_2\) и \(\omega_3\) в \(C,D\), \(\omega_3\) и \(\omega_1\) в \(E,F\). Пусть прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в \(X\). Докажите, что \(X\) лежит на прямой \(EF\).
Точка \(X\) имеет равные степени относительно первых двух окружностей и относительно второй и третьей.
Так как \(X\in AB\), то \(X\) лежит на радикальной оси \(\omega_1,\omega_2\), значит \(\operatorname{Pow}_{\omega_1}(X)=\operatorname{Pow}_{\omega_2}(X)\). Так как \(X\in CD\), получаем \(\operatorname{Pow}_{\omega_2}(X)=\operatorname{Pow}_{\omega_3}(X)\). Следовательно, \(\operatorname{Pow}_{\omega_1}(X)=\operatorname{Pow}_{\omega_3}(X)\), то есть \(X\) лежит на радикальной оси \(\omega_1,\omega_3\), а это прямая \(EF\).
Это базовая форма теоремы о радикальном центре.