Задача
GEO-B2-M10-P009 Трансверсаль с внешней точкой
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на \(AB\), точка \(E\) лежит на \(BC\), а точка \(F\) лежит на продолжении \(CA\) за \(A\). Пусть \(AD:DB=1:2\), \(BE:EC=2:3\), \(AF:FC=1:3\). Докажите, что \(D,E,F\) лежат на одной прямой.
Для коллинеарности точек на сторонах и продолжении стороны примените Менелая.
Так как \(F\) лежит на продолжении за \(A\), имеем \(CF:FA=3:1\). Проверяем произведение Менелая: \(\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CF}{FA}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot 3=1\). Следовательно, точки \(D,E,F\) коллинеарны.
Ученику важно заметить внешнюю точку и не применять Чеву.