Задача
GEO-B2-M10-P015 Обратная степень точки
#15
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Две прямые пересекаются в точке \(P\). На одном луче с началом \(P\) лежат точки \(A,B\), на другом луче — точки \(C,D\), причём \(PA
Проведите окружность через \(A,C,D\) и посмотрите, где она второй раз пересекает луч \(PB\).
Пусть окружность через \(A,C,D\) пересекает луч \(PB\) второй раз в точке \(X\). По степени точки \(P\) относительно этой окружности \(PA\cdot PX=PC\cdot PD\). По условию \(PC\cdot PD=PA\cdot PB\). Так как \(PA\ne 0\), получаем \(PX=PB\). На одном луче такая точка единственна, значит \(X=B\). Поэтому \(A,C,B,D\) соокружны.
Это важный обратный приём: произведение отрезков может доказывать окружность.