Задача
GEO-B2-M10-P016 Равные касательные к разным окружностям
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в \(A,B\). Точка \(P\) лежит на прямой \(AB\). Из \(P\) проведены касательные \(PX\) к \(\omega_1\) и \(PY\) к \(\omega_2\). Докажите, что \(PX=PY\).
Точка \(P\) лежит на радикальной оси, значит её степени относительно окружностей равны.
Прямая \(AB\) — радикальная ось, поэтому \(\operatorname{Pow}_{\omega_1}(P)=\operatorname{Pow}_{\omega_2}(P)\). Но эти степени равны \(PX^2\) и \(PY^2\), так как \(PX\) и \(PY\) — касательные. Следовательно, \(PX^2=PY^2\), а значит \(PX=PY\).
Задача соединяет радикальную ось и касательные.