Задача
GEO-B2-M10-P017 Угол из точки Микеля
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В четырёхугольнике \(ABCD\) прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в \(E\), а \(AD\) и \(BC\) — в \(F\). Пусть \(M\) — точка Микеля четырёх прямых \(AB,BC,CD,DA\). Докажите, что \(\angle AMB=\angle DFC\).
Точка \(M\) лежит на окружности \((ABF)\).
По теореме Микеля \(A,B,F,M\) лежат на одной окружности. Поэтому \(\angle AMB=\angle AFB\), так как эти углы опираются на хорду \(AB\). Но \(FA\) — та же прямая, что \(FD\), а \(FB\) — та же прямая, что \(FC\). Значит \(\angle AFB=\angle DFC\). Следовательно, \(\angle AMB=\angle DFC\).
Здесь точка Микеля используется не для доказательства общей точки, а для чтения угла.