Задача
GEO-B2-M10-P018 Две касательные и секущая
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Касательные к окружности в точках \(A\) и \(C\) пересекаются в точке \(T\). Прямая через \(T\) пересекает окружность в точках \(B\) и \(D\). Докажите, что \(TA=TC\) и \(TB\cdot TD=TA^2\).
Используйте равенство касательных из одной точки и степень точки \(T\).
Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, поэтому \(TA=TC\). Кроме того, степень точки \(T\) относительно окружности равна как \(TA^2\), так и \(TB\cdot TD\) по секущей \(TBD\). Следовательно, \(TB\cdot TD=TA^2\).
Задача показывает, что одна точка может давать несколько выражений одной степени.