Задача
GEO-B3-M01-P010 Две окружности через центр
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) проходят через точки \(A\) и \(B\). Сделали инверсию с центром \(A\). Докажите, что образы окружностей — две прямые, пересекающиеся в точке \(B^*\), и угол между этими прямыми равен углу между окружностями \(\omega_1\) и \(\omega_2\).
Подсказка 1. Окружность через центр инверсии переходит в прямую.
Подсказка 2. Точка \(B\) принадлежит обеим окружностям.
E. Подробное решение. Обе окружности проходят через центр инверсии \(A\), поэтому каждая переходит в прямую. Так как \(B\) лежит на обеих окружностях, его образ \(B^*\) должен лежать на обеих образных прямых; значит, прямые пересекаются в \(B^*\). Угол между окружностями сохраняется при инверсии, поэтому он равен углу между их образами, то есть между этими двумя прямыми.
Эта задача готовит ученика к превращению сложных пучков окружностей в пучки прямых.