Задача
GEO-B3-M01-P018 Общие касательные через концентрические окружности
Две непересекающиеся окружности не лежат одна внутри другой. Докажите, что существует инверсия с центром на линии их центров, после которой эти окружности становятся концентрическими, и объясните, как это помогает строить их общие касательные.
Подсказка 1. Нужен центр инверсии, из которого касательные к данным окружностям равны.
Подсказка 2. Такую точку даёт радикальная ось в пересечении с линией центров.
E. Подробное решение. Выберем точку \(O\) на линии центров так, чтобы её степени относительно двух окружностей были равны. Тогда длины касательных из \(O\) к этим окружностям равны. Возьмём инверсию с центром \(O\) и степенью, равной этой общей степени. При такой инверсии обе окружности становятся окружностями, ортогональными одной и той же окружности инверсии в согласованном смысле; их образы имеют центры на той же линии и оказываются концентрическими. После этого общие касательные строятся как образы прямых, касающихся двух концентрических окружностей, то есть как образы прямых на фиксированном расстоянии от общего центра.
Задача показывает, что выбор центра инверсии часто диктуется степенями относительно окружностей.