Задача
GEO-B3-M01-P019 Цепочка в угле
Несколько окружностей касаются обеих сторон угла и каждая касается следующей. Докажите, что точки касания соседних окружностей лежат на одной прямой, параллельной третьей общей касательной к любой паре соседних окружностей.
Подсказка 1. Окружности в одном угле гомотетичны с центром в вершине.
Подсказка 2. Соседние окружности касаются на биссектрисе угла.
E. Подробное решение. Все центры окружностей лежат на биссектрисе угла. Для двух соседних окружностей существует гомотетия с центром в вершине угла, переводящая меньшую окружность в большую. Их точка касания лежит на линии центров, то есть на биссектрисе. Поэтому все точки касания соседних окружностей лежат на одной прямой — биссектрисе угла. Третья общая касательная к двум соседним окружностям также перпендикулярна линии центров в гомотетической модели, а в исходном угле её направление фиксировано. Следовательно, она параллельна соответствующей линии касаний.
Эта задача полезна как образ после инверсии: цепочки между касающимися окружностями часто превращаются в цепочки в угле.