Задача
GEO-B3-M01-P020 Центры ортогональных окружностей
Даны две неконцентрические окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\). Докажите, что центры всех окружностей, ортогональных обеим данным окружностям, лежат на радикальной оси \(\omega_1\) и \(\omega_2\).
Подсказка 1. Пусть искомая окружность имеет центр \(X\) и радиус \(r\).
Подсказка 2. Запишите условие ортогональности через расстояние между центрами.
E. Подробное решение. Пусть центры данных окружностей — \(O_1,O_2\), радиусы — \(R_1,R_2\), а окружность с центром \(X\) и радиусом \(r\) ортогональна обеим. Тогда \(XO_1^2=R_1^2+r^2\) и \(XO_2^2=R_2^2+r^2\). Вычитая, получаем \(XO_1^2-R_1^2=XO_2^2-R_2^2\). Это означает, что степени точки \(X\) относительно \(\omega_1\) и \(\omega_2\) равны. Следовательно, \(X\) лежит на их радикальной оси.
Хотя задача решается степенями, она нужна для инверсии: такие окружности часто выбирают как окружности инверсии.