Задача
GEO-B3-M01-P021 Полный четырёхугольник после инверсии
Четыре прямые образуют полный четырёхугольник. Одна из его вершин \(P\) выбрана центром инверсии. Докажите, что окружности, проходящие через \(P\) и две соседние вершины полного четырёхугольника, переходят в стороны некоторого треугольника.
Подсказка 1. Каждая такая окружность проходит через центр инверсии.
Подсказка 2. Образы соседних вершин лежат на образах исходных прямых.
E. Подробное решение. Окружность, проходящая через центр инверсии \(P\), переходит в прямую. Рассмотрим три окружности, проходящие через \(P\) и пары соседних вершин полного четырёхугольника. Их образы — три прямые. Эти прямые пересекаются попарно в образах соответствующих вершин, потому что инверсия сохраняет принадлежность точек кривым. Следовательно, три образные прямые являются сторонами треугольника, вершины которого — образы трёх оставшихся вершин полного четырёхугольника.
Это подготовительная задача к сильным теоремам Микеля и к обращениям окружностей в прямые.