Задача
GEO-B3-M01-P022 Окружность Аполлония через инверсию
Даны точки \(A\) и \(B\) и число \(k>0\), \(k\neq1\). Докажите, что множество точек \(X\), для которых \(\frac{XA}{XB}=k\), является окружностью. Решите задачу инверсией с центром \(A\).
Подсказка 1. Выберите радиус инверсии так, чтобы образ точки \(B\) был удобен.
Подсказка 2. После инверсии отношение \(XA:XB\) можно превратить в линейное условие на \(X^*\).
E. Подробное решение. Возьмём инверсию с центром \(A\) и радиусом \(R\), где \(R^2=k\cdot AB^2\). Пусть \(X\) переходит в \(X^*\). Из подобия обратных треугольников получаем \(\frac{XB}{XA}=\frac{X^*B^*}{AB^*}\), где \(B^*\) — образ \(B\). Условие \(\frac{XA}{XB}=k\) равносильно \(\frac{XB}{XA}=\frac1k\), то есть \(X^*B^*=\frac{AB^*}{k}\). Значит, \(X^*\) лежит на окружности с центром \(B^*\) и фиксированным радиусом \(\frac{AB^*}{k}\). Эта окружность не проходит через центр \(A\), поэтому её обратный образ при инверсии является окружностью. Следовательно, исходное множество точек \(X\) — окружность.
Это сильнее обычного вывода окружности Аполлония: ученик видит, как отношение расстояний становится окружностью после правильно выбранной инверсии.