Задача
GEO-B3-M02-P008 Дезарг: обратное утверждение
B. Новая оригинальная задача. Для треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) точки \(P=AB\cap A_1B_1\), \(Q=BC\cap B_1C_1\), \(R=CA\cap C_1A_1\) лежат на одной прямой. Докажите, что прямые \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в одной точке.
C. Подсказка 1. Подумайте о двойственности прямого утверждения Дезарга.
D. Подсказка 2. Можно применить прямой Дезарг в двойственной плоскости или использовать проективное преобразование.
E. Полное решение.
Обратная теорема Дезарга является двойственной к прямой: если в прямом утверждении поменять роли точек и прямых, конкурентность переходит в коллинеарность, а коллинеарность - в конкурентность.
Применим двойственную форму прямой теоремы к двум тройкам сторон \(AB,BC,CA\) и \(A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1\). Их соответствующие пересечения \(P,Q,R\) лежат на одной прямой, значит соединения соответствующих вершин двойственной конфигурации конкурентны.
В исходном языке это означает, что \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) проходят через одну точку.
Если ученики ещё не уверены в двойственности, можно решить координатно после отправки прямой \(PQR\) на бесконечность.