Задача
GEO-B3-M02-P010 Касательные в противоположных вершинах
B. Новая оригинальная задача. Точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности. Касательные к окружности в \(A\) и \(C\) пересекаются в точке \(X\). Пусть \(Y=AB\cap CD\), \(Z=BC\cap AD\). Докажите, что \(X,Y,Z\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Используйте шестиугольник с повторяющимися вершинами.
D. Подсказка 2. Примените Паскаля к \(A,A,B,C,C,D\).
E. Полное решение.
Рассмотрим вырожденный шестиугольник \(A,A,B,C,C,D\), вписанный в данную окружность. Сторона между двумя соседними точками \(A,A\) является касательной в \(A\), а сторона \(C,C\) - касательной в \(C\).
Противоположные стороны этого шестиугольника пересекаются в точках \(X\), \(Y\), \(Z\). По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой.
Это первый обязательный вырожденный Паскаль: он подготавливает модуль о полюсах и полярах.