Задача
GEO-B3-M02-P011 Второй вырожденный Паскаль
B. Новая оригинальная задача. Точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности. Касательные в \(B\) и \(D\) пересекаются в точке \(X\). Пусть \(Y=AB\cap CD\), \(Z=BC\cap AD\). Докажите, что \(X,Y,Z\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Порядок повторяющихся вершин будет другим, чем в предыдущей задаче.
D. Подсказка 2. Попробуйте шестиугольник \(A,B,B,C,D,D\).
E. Полное решение.
Рассмотрим вырожденный шестиугольник \(A,B,B,C,D,D\) на окружности. Его сторона \(BB\) есть касательная в \(B\), а сторона \(DD\) - касательная в \(D\).
Пары противоположных сторон дают:
\[ AB\cap CD=Y,\quad BB\cap DD=X,\quad BC\cap DA=Z. \]
По теореме Паскаля точки \(X,Y,Z\) коллинеарны.
Ученик должен сам подобрать порядок вершин; это делает задачу заметно менее механической.