Задача
GEO-B3-M02-P012 Окружность как промежуточная прямая
B. Новая оригинальная задача. Дана окружность \(\omega\), прямая \(l\) и точки \(M,N\in\omega\), не лежащие на \(l\). Для \(X\in l\) проведём \(MX\), она второй раз пересекает \(\omega\) в \(Y\); затем \(NY\) пересекает \(l\) в \(X'\). Докажите, что отображение \(X\mapsto X'\) сохраняет двойное отношение четырёх точек прямой \(l\).
C. Подсказка 1. Покажите, что отображение является композицией двух проекций.
D. Подсказка 2. Чтобы говорить о двойном отношении на окружности, спроецируйте окружность на любую вспомогательную прямую.
E. Полное решение.
Первый шаг \(X\mapsto Y\) является центральной проекцией прямой \(l\) на окружность из точки \(M\). Второй шаг \(Y\mapsto X'\) является центральной проекцией окружности на прямую \(l\) из точки \(N\).
Выберем вспомогательную прямую \(s\) и отождествим окружность \(\omega\) с \(s\) с помощью центральной проекции из точки, не лежащей на \(\omega\). Тогда оба шага становятся проективными отображениями прямых. Следовательно, их композиция является проективным преобразованием прямой \(l\).
Любое проективное преобразование прямой сохраняет двойное отношение. Значит, для любых четырёх точек \(X_1,X_2,X_3,X_4\) прямой \(l\) имеем \((X_1X_2X_3X_4)=(X'_1X'_2X'_3X'_4)\).
Важно проговорить, что окружность здесь используется как носитель проективной параметризации, а не как метрический объект.