Задача
GEO-B3-M02-P013 Шестая точка по Паскалю
B. Новая оригинальная задача. Пять точек \(A,B,C,D,E\) лежат на одной конике. Через \(E\) проведена прямая \(e\), не касательная к конике. Пусть \(K=AB\cap DE\), \(L=e\cap BC\), \(M=KL\cap CD\), \(F=AM\cap e\). Докажите, что \(F\) лежит на той же конике.
C. Подсказка 1. Представьте, что \(F\) уже лежит на конике, и примените Паскаля.
D. Подсказка 2. Нужно показать, что построенная точка совпадает со второй точкой пересечения \(e\) с коникой.
E. Полное решение.
Пусть \(F_0\) - вторая точка пересечения прямой \(e\) с коникой. Применим Паскаля к шестиугольнику \(A,B,C,D,E,F_0\). Точки
\[ AB\cap DE=K,\quad BC\cap EF_0=L,\quad CD\cap F_0A \]
лежат на одной прямой. Так как \(E,F_0,L\) лежат на \(e\), точка \(BC\cap EF_0\) действительно равна \(L\). Значит, третья точка \(CD\cap F_0A\) лежит на прямой \(KL\), то есть совпадает с \(M=KL\cap CD\).
Следовательно, прямая \(AM\) проходит через \(F_0\). Но построенная точка \(F\) есть \(AM\cap e\), а \(F_0\in e\). Поэтому \(F=F_0\), и \(F\) лежит на конике.
Это хорошая конструктивная версия Паскаля: ученик видит не только доказательство коллинеарности, но и построение точки коники линейкой.