Задача
GEO-B3-M02-P014 Четвёртая точка по двойному отношению
B. Новая оригинальная задача. На прямой \(l\) выбраны различные точки \(A,B,C,D\), а на прямой \(m\) - различные точки \(A_1,B_1,C_1,D_1\). Известно, что существует проективное отображение \(f:l\to m\), для которого \(f(A)=A_1\), \(f(B)=B_1\), \(f(C)=C_1\). Кроме того, \((A B C D)=(A_1 B_1 C_1 D_1)\). Докажите, что \(f(D)=D_1\).
C. Подсказка 1. Образ точки \(D\) имеет то же двойное отношение с \(A_1,B_1,C_1\), что и \(D\) с \(A,B,C\).
D. Подсказка 2. Для трёх фиксированных точек на прямой значение двойного отношения однозначно задаёт четвёртую точку.
E. Полное решение.
Обозначим \(D_0=f(D)\). Так как \(f\) проективно, оно сохраняет двойное отношение:
\[ (A_1 B_1 C_1 D_0)=(A B C D). \]
По условию \((A B C D)=(A_1 B_1 C_1 D_1)\). Следовательно,
\[ (A_1 B_1 C_1 D_0)=(A_1 B_1 C_1 D_1). \]
На прямой \(m\) точки \(A_1,B_1,C_1\) различны. Для таких трёх фиксированных точек значение \((A_1 B_1 C_1 X)\) однозначно определяет точку \(X\). Поэтому \(D_0=D_1\). Значит, \(f(D)=D_1\).
Задача полезна как мост между “три точки задают проективность” и практическим восстановлением четвёртой точки.