Задача
GEO-B3-M02-P015 Папп через вырожденную конику
B. Новая оригинальная задача. Точки \(A,B,C\) лежат на прямой \(l\), а точки \(A_1,B_1,C_1\) - на прямой \(m\). Пусть \(P=AB_1\cap A_1B\), \(Q=AC_1\cap A_1C\), \(R=BC_1\cap B_1C\). Докажите, что \(P,Q,R\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Считайте пару прямых \(l\cup m\) вырожденной коникой.
D. Подсказка 2. Примените Паскаля к подходящему порядку шести точек.
E. Полное решение.
Объединение двух прямых \(l\cup m\) можно рассматривать как вырожденную конику. Возьмём шестиугольник с вершинами \(A,B_1,C,A_1,B,C_1\) на этой конике.
Пары противоположных сторон дают именно точки \(P,Q,R\) после возможной перестановки обозначений. По теореме Паскаля для вырожденной коники эти три точки лежат на одной прямой.
Если класс не готов к вырожденным коникам, можно доказать Паппа отдельно координатно и затем показать связь с Паскалем.