Задача
GEO-B3-M02-P016 Антиподальная проективность
B. Новая оригинальная задача. Дана окружность \(\omega\), точка \(M\in\omega\) и прямая \(l\), не проходящая через \(M\). Для точки \(X\in l\) прямая \(MX\) пересекает \(\omega\) второй раз в \(Y\). Пусть \(Y'\) - точка окружности, диаметрально противоположная \(Y\). Прямая \(MY'\) пересекает \(l\) в \(X'\). Докажите, что отображение \(X\mapsto X'\) является проективным преобразованием прямой \(l\).
C. Подсказка 1. Разбейте отображение на три шага.
D. Подсказка 2. Поворот на \(180^\circ\) окружности тоже задаёт проективное преобразование при параметризации окружности прямой.
E. Полное решение.
Отображение состоит из трёх шагов: проектирование \(l\) на окружность из точки \(M\), антиподальное преобразование окружности, затем проектирование окружности обратно на \(l\) из точки \(M\).
Первый и третий шаги являются проективными после отождествления окружности с прямой. Антиподальное преобразование окружности является ограничением движения плоскости, сохраняющего окружность, а значит в той же параметризации тоже задаёт проективность.
Композиция трёх проективных отображений является проективным преобразованием прямой \(l\). Следовательно, \(X\mapsto X'\) проективно.
Задача полезна перед задачами на неподвижные точки таких композиций.