Задача
GEO-B3-M02-P017 Брианшон для описанного шестиугольника
B. Новая оригинальная задача. Шестиугольник \(ABCDEF\) описан около одной окружности: каждая его сторона касается этой окружности. Докажите, что прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в одной точке.
C. Подсказка 1. Это двойственная теорема к Паскалю.
D. Подсказка 2. Переходите от сторон, касающихся окружности, к точкам касания и полярам.
E. Полное решение.
Рассмотрим полярность относительно данной окружности. Каждой касательной стороне шестиугольника соответствует точка касания, а каждой вершине шестиугольника - прямая, соединяющая две соседние точки касания в двойственной конфигурации.
Теорема Паскаля для шести точек касания на окружности в двойственной форме утверждает, что три прямые, соединяющие противоположные вершины описанного шестиугольника, конкурентны.
Эти три прямые как раз \(AD\), \(BE\), \(CF\). Следовательно, они проходят через одну точку.
Это preview: полную технику полюсов и поляр лучше разобрать в следующем модуле, но здесь важно увидеть двойственность Паскаля.