Задача
GEO-B3-M02-P018 Паскаль в обратном направлении
B. Новая оригинальная задача. Точки \(A,B,C,D,E,F\) лежат на одной конике. Пусть \(P=AB\cap DE\), \(Q=BC\cap EF\). Прямая \(PQ\) пересекает \(CD\) в точке \(R\). Докажите, что точки \(A,F,R\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Примените Паскаля к шестиугольнику \(ABCDEF\).
D. Подсказка 2. Третья паскалева точка уже должна лежать на прямой \(PQ\).
E. Полное решение.
По теореме Паскаля для шестиугольника \(ABCDEF\) точки
\[ P=AB\cap DE,\quad Q=BC\cap EF,\quad R_0=CD\cap FA \]
лежат на одной прямой. Первые две из них - это \(P\) и \(Q\), значит третья \(R_0\) лежит на прямой \(PQ\).
Но по условию \(R\) - точка пересечения \(PQ\) с \(CD\). Точка \(R_0\) тоже лежит на \(PQ\) и на \(CD\). Следовательно, \(R=R_0\), а значит \(R\in FA\). То есть \(A,F,R\) коллинеарны.
Хорошая задача на то, что Паскаль можно применять не только для доказательства коллинеарности, но и для восстановления недостающей прямой.