Задача
GEO-B3-M02-P019 Циклическая проективность третьего порядка
B. Новая оригинальная задача. Проективное преобразование \(f\) прямой \(l\) переводит три различные точки \(A,B,C\) так: \(f(A)=B\), \(f(B)=C\), \(f(C)=A\). Докажите, что \(f^3\) является тождественным преобразованием прямой \(l\).
C. Подсказка 1. Посмотрите, что делает \(f^3\) с точками \(A,B,C\).
D. Подсказка 2. Используйте факт о трёх неподвижных точках.
E. Полное решение.
Трижды применяя \(f\), получаем:
\[ f^3(A)=A,\quad f^3(B)=B,\quad f^3(C)=C. \]
Преобразование \(f^3\) является композицией проективных преобразований, значит оно тоже проективно. Оно имеет три различные неподвижные точки \(A,B,C\). Следовательно, по базовому факту о проективности прямой \(f^3\) тождественно.
Эта задача выглядит алгебраически, но готовит к геометрическим ситуациям, где \(f\) возникает как композиция проекций.