Задача
GEO-B3-M02-P020 Гармония полного четырёхугольника
B. Новая оригинальная задача. Пусть \(A,B,C,D\) - четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Обозначим \(E=AB\cap CD\), \(F=AD\cap BC\), \(G=AC\cap BD\). Прямая \(EF\) пересекает \(AC\) в точке \(H\). Докажите, что \((A C G H)=-1\).
C. Подсказка 1. Это классический гармонический факт полного четырёхугольника.
D. Подсказка 2. Проективно сведите четырёхугольник к удобной координатной модели.
E. Полное решение.
Двойное отношение сохраняется проективными преобразованиями, поэтому можно заменить полный четырёхугольник проективно эквивалентной удобной моделью. Возьмём координаты на плоскости так, чтобы
\[ A=(-1,0),\quad C=(1,0),\quad B=(0,1),\quad D=(0,-1). \]
Тогда \(G=AC\cap BD=(0,0)\). Прямые \(AB\) и \(CD\) имеют одинаковое направление, поэтому их точка пересечения \(E\) является бесконечно удалённой точкой направления с угловым коэффициентом \(1\). Прямые \(AD\) и \(BC\) также параллельны, поэтому \(F\) - бесконечно удалённая точка направления с угловым коэффициентом \(-1\).
Значит, прямая \(EF\) есть бесконечно удалённая прямая, и её пересечение с \(AC\) - бесконечно удалённая точка прямой \(AC\). То есть в координате на \(AC\) имеем \(A=-1\), \(C=1\), \(G=0\), \(H=\infty\).
Тогда
\[ (A C G H)=(-1,1,0,\infty)=\frac{0-(-1)}{0-1}=-1. \]
Так как это двойное отношение сохраняется при обратном проективном преобразовании, в исходной конфигурации также \((A C G H)=-1\).
Координатная модель делает гармоническое отношение прозрачным: две пары противоположных сторон становятся параллельными, а \(H\) уходит на бесконечность.