Задача
GEO-B3-M02-P021 Общий Паскаль из частного случая
B. Новая оригинальная задача. Предположим, что теорема Паскаля уже доказана для окружности в случае, когда одна пара противоположных сторон шестиугольника параллельна. Объясните, как из этого получить теорему Паскаля для произвольных шести точек \(A,B,C,D,E,F\) на одной конике.
C. Подсказка 1. Используйте проективное преобразование.
D. Подсказка 2. Отправьте одну из трёх точек пересечения противоположных сторон на бесконечность.
E. Полное решение.
Пусть \(P=AB\cap DE\), \(Q=BC\cap EF\), \(R=CD\cap FA\). Выберем проективное преобразование, которое переводит конику в окружность и точку \(P\) - в бесконечно удалённую точку. Тогда образы прямых \(AB\) и \(DE\) становятся параллельными.
В новой конфигурации применим доказанный частный случай Паскаля: образы точек \(Q\) и \(R\) лежат на прямой, параллельной образам \(AB\) и \(DE\), то есть эта прямая проходит через образ \(P\).
Следовательно, образы \(P,Q,R\) коллинеарны. Проективное преобразование сохраняет коллинеарность, поэтому исходные точки \(P,Q,R\) тоже лежат на одной прямой.
Это методологическая задача: она показывает, зачем вообще отправлять точку на бесконечность.