Задача
GEO-B3-M02-P022 Папп как проективный критерий
B. Новая оригинальная задача. На прямых \(l\) и \(m\) выбраны тройки точек \(A,B,C\) и \(A_1,B_1,C_1\). Пусть \(P=AB_1\cap A_1B\), \(Q=BC_1\cap B_1C\). Прямая \(PQ\) пересекает \(AC_1\) в точке \(R\). Докажите, что \(R\) лежит на прямой \(A_1C\).
C. Подсказка 1. Сформулируйте Паппа так, чтобы третья точка была \(AC_1\cap A_1C\).
D. Подсказка 2. Покажите, что построенная точка \(R\) совпадает с папповой третьей точкой.
E. Полное решение.
По теореме Паппа для точек \(A,B,C\) на \(l\) и \(A_1,B_1,C_1\) на \(m\) точки
\[ P=AB_1\cap A_1B,\quad Q=BC_1\cap B_1C,\quad R_0=AC_1\cap A_1C \]
лежат на одной прямой. Первые две из них совпадают с заданными \(P\) и \(Q\), поэтому \(R_0\in PQ\).
Но \(R\) по условию есть точка \(PQ\cap AC_1\). Точка \(R_0\) также лежит на \(PQ\) и на \(AC_1\). Следовательно, \(R=R_0\). Значит, \(R\in A_1C\), что и требовалось доказать.
Это обратное использование Паппа: вместо доказательства коллинеарности восстанавливается недостающая прямая.