Задача
GEO-B3-M03-P006 Пересечение касательных к концам секущей
#6
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
B. Новая оригинальная задача. Через точку \(P\) проведена секущая окружности \(\omega\), пересекающая её в точках \(A\) и \(B\). Касательные к \(\omega\) в \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(T\). Докажите, что \(T\) лежит на поляре точки \(P\).
Inspired by Prasolov poles and polars method
C. Подсказка 1. Какая поляра у точки \(T\)?
D. Подсказка 2. Поскольку \(P\in AB\), примените La Hire.
E. Полное решение.
Так как \(TA\) и \(TB\) - касательные, поляра точки \(T\) есть прямая \(AB\). Точка \(P\) лежит на \(AB\), значит \(P\) лежит на поляре \(T\).
По теореме Ла Ира точка \(T\) лежит на поляре точки \(P\), что и требовалось доказать.
Это ключевой факт для всех задач, где через одну точку проведено несколько секущих.