Задача
GEO-B3-M03-P022 Геометрическое место перекрёстных пересечений
B. Новая оригинальная задача. Точка \(P\) фиксирована, а через неё проводятся две переменные секущие окружности \(\omega\), пересекающие её в \(A,B\) и \(C,D\). Докажите, что при любом выборе секущих точки \(AC\cap BD\) и \(AD\cap BC\) лежат на одной фиксированной прямой. Укажите эту прямую.
C. Подсказка 1. Рассмотрите полный четырёхугольник \(ABCD\).
D. Подсказка 2. Обе перекрёстные точки образуют поляру диагональной точки \(P\).
E. Полное решение.
Пусть \(Q=AC\cap BD\), \(R=AD\cap BC\). Так как \(A,B,C,D\) лежат на окружности, а \(P=AB\cap CD\), точки \(P,Q,R\) являются диагональными точками полного четырёхугольника \(ABCD\).
По самополярности диагонального треугольника поляра \(P\) есть прямая \(QR\). Окружность и точка \(P\) фиксированы, значит поляра \(P\) тоже фиксирована. Поэтому при любом выборе двух секущих точки \(Q\) и \(R\) лежат на одной и той же прямой - поляре \(P\).
Сильная задача на то, что переменная полная конфигурация имеет неподвижную полярную ось.