Задача
GEO-B3-M04-P007 Вырождение педального треугольника
B. Новая оригинальная задача. Докажите, что педальный треугольник точки \(P\) относительно треугольника \(ABC\) имеет нулевую площадь тогда и только тогда, когда \(P\) лежит на описанной окружности \(ABC\).
C. Подсказка 1. Нулевая площадь означает коллинеарность трёх педальных точек.
D. Подсказка 2. Примените прямую и обратную теоремы Симсона.
E. Полное решение.
Педальный треугольник имеет нулевую площадь тогда и только тогда, когда его вершины \(A_1,B_1,C_1\) лежат на одной прямой.
Если \(P\) лежит на описанной окружности, то по теореме Симсона \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны. Обратно, если они коллинеарны, то по обратной теореме Симсона \(P\) лежит на описанной окружности. Следовательно, утверждение доказано.
Формулировка удобна для задач, где напрямую говорится о площади педального треугольника.