Задача
GEO-B3-M04-P008 Наклонная прямая Симсона
B. Новая оригинальная задача. Точка \(P\) лежит на описанной окружности \(ABC\). Через \(P\) проведены прямые, пересекающие \(BC,CA,AB\) под одинаковым направленным углом \(\alpha\). Докажите, что три точки пересечения лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Сравните эти точки с обычными основаниями перпендикуляров.
D. Подсказка 2. Все они получаются одним поворотом-гомотетией с центром \(P\).
E. Полное решение.
Пусть \(A_1,B_1,C_1\) - обычные основания перпендикуляров из \(P\). По теореме Симсона они лежат на одной прямой. Новые точки \(A_2,B_2,C_2\) на \(BC,CA,AB\) получаются из \(A_1,B_1,C_1\) одинаковым изменением угла при \(P\): от направления перпендикуляра к направлению, образующему угол \(\alpha\) со стороной.
Для каждой стороны соответствие \(A_1\mapsto A_2\), \(B_1\mapsto B_2\), \(C_1\mapsto C_2\) задаётся одной поворотной гомотетией с центром \(P\) и углом \(90^\circ-\alpha\). Такая трансформация переводит прямую в прямую. Поэтому \(A_2,B_2,C_2\) коллинеарны.
Это полезное обобщение, но стоит следить за направленными углами.