Задача
GEO-B3-M04-P009 Хорда, перпендикулярная стороне
B. Новая оригинальная задача. На описанной окружности \(ABC\) точки \(P\) и \(Q\) таковы, что хорда \(PQ\perp BC\). Докажите, что прямая Симсона точки \(P\) параллельна \(AQ\).
C. Подсказка 1. Используйте направление прямой Симсона через вписанные углы.
D. Подсказка 2. Условие \(PQ\perp BC\) переводит направление через дугу с концом \(Q\).
E. Полное решение.
Пусть \(A_1,B_1,C_1\) - проекции \(P\) на \(BC,CA,AB\). Направление прямой Симсона можно выразить, например, через угол между \(B_1C_1\) и \(AB\). Из цикличности \(P,B_1,A,C_1\) этот угол равен углу между \(PA\) и \(PC\) в соответствующей форме.
Так как \(PQ\perp BC\), вписанные углы, задающие направление \(AQ\), совпадают с углами, задающими направление \(B_1C_1\). Следовательно, \(B_1C_1\parallel AQ\). Значит, вся прямая Симсона точки \(P\) параллельна \(AQ\).
Задача хороша как первый шаг к задачам на направление прямой Симсона.