Задача
GEO-B3-M04-P010 Прямая Симсона и середина \(PH\)
B. Новая оригинальная задача. Пусть \(H\) - ортоцентр треугольника \(ABC\), а точка \(P\) лежит на его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки \(P\) проходит через середину отрезка \(PH\).
C. Подсказка 1. Рассмотрите гомотетию с центром \(P\) и коэффициентом \(\frac12\).
D. Подсказка 2. Она связывает высоты из \(H\) с проекциями из \(P\).
E. Полное решение.
Пусть \(M\) - середина \(PH\), а \(B_1,C_1\) - проекции \(P\) на \(CA\) и \(AB\). Так как \(BH\perp AC\), а \(PB_1\perp AC\), имеем \(PB_1\parallel BH\). Аналогично \(PC_1\parallel CH\).
В гомотетии с центром \(P\) и коэффициентом \(\frac12\) точка \(H\) переходит в \(M\), а направления \(BH\) и \(CH\) переходят в направления через \(B_1\) и \(C_1\). Из параллельности соответствующих отрезков получаем \(M\in B_1C_1\). Но \(B_1C_1\) - прямая Симсона, значит она проходит через \(M\).
Это одна из главных связей прямой Симсона с окружностью девяти точек.