Задача
GEO-B3-M04-P011 Перпендикулярные прямые Симсона
B. Новая оригинальная задача. Точки \(P\) и \(Q\) диаметрально противоположны на описанной окружности треугольника \(ABC\). Докажите, что прямые Симсона точек \(P\) и \(Q\) перпендикулярны.
C. Подсказка 1. Используйте факт о направлении прямой Симсона.
D. Подсказка 2. При переходе к противоположной точке радиус поворачивается на \(180^\circ\).
E. Полное решение.
Направление прямой Симсона меняется на половину углового перемещения точки по описанной окружности. Точки \(P\) и \(Q\) диаметрально противоположны, поэтому радиусы \(OP\) и \(OQ\) отличаются поворотом на \(180^\circ\).
Следовательно, направления их прямых Симсона отличаются на \(90^\circ\). Значит, эти прямые перпендикулярны.
Задача готовит к утверждению о точке пересечения на окружности девяти точек.