Задача
GEO-B3-M04-P012 Пересечение на окружности девяти точек
B. Новая оригинальная задача. Точки \(P\) и \(Q\) диаметрально противоположны на описанной окружности \(ABC\). Их прямые Симсона пересекаются в точке \(X\). Докажите, что \(X\) лежит на окружности девяти точек треугольника \(ABC\).
C. Подсказка 1. Каждая прямая Симсона проходит через середину соответствующего отрезка с ортоцентром.
D. Подсказка 2. Для противоположных точек эти две середины лежат на окружности девяти точек.
E. Полное решение.
Пусть \(H\) - ортоцентр, \(M\) и \(N\) - середины \(PH\) и \(QH\). По свойству прямой Симсона прямая Симсона точки \(P\) проходит через \(M\), а прямая Симсона точки \(Q\) проходит через \(N\). Точки \(M\) и \(N\) лежат на окружности девяти точек, потому что эта окружность является образом описанной окружности при гомотетии с центром \(H\) и коэффициентом \(\frac12\).
Из предыдущей задачи прямые Симсона перпендикулярны. В стандартной конфигурации окружности девяти точек угол \(MXN\) опирается на диаметр \(MN\) этой окружности, поэтому \(X\) лежит на ней. Иначе это можно проверить углами: \(\angle MXN=90^\circ\), а \(MN\) является диаметром соответствующей окружности.
Сложность можно повысить, попросив ученика доказать, что \(MN\) - диаметр нужной окружности.