Задача
GEO-B3-M04-P013 Параллельность двух прямых Симсона
B. Новая оригинальная задача. Точки \(P\) и \(Q\) лежат на описанной окружности \(ABC\). Докажите, что их прямые Симсона параллельны тогда и только тогда, когда \(P=Q\).
C. Подсказка 1. Направление прямой Симсона зависит от положения точки на окружности с коэффициентом \(\frac12\).
D. Подсказка 2. Если направления совпали, дуги отличаются на полный оборот.
E. Полное решение.
При перемещении точки по описанной окружности на дугу угловой величины \(2\varphi\) направление прямой Симсона меняется на \(\varphi\). Поэтому если прямые Симсона \(P\) и \(Q\) параллельны, их направления совпадают по модулю \(180^\circ\). Значит, дуги между \(P\) и \(Q\) имеют угловую величину \(0^\circ\) или \(360^\circ\), то есть \(P=Q\).
Обратное очевидно: если \(P=Q\), то прямые Симсона совпадают, а значит параллельны.
Формулировка помогает не путать параллельность с перпендикулярностью у противоположных точек.