Задача
GEO-B3-M04-P015 Касание семейства прямых Симсона
B. Новая оригинальная задача. На окружности фиксированы точки \(P\) и \(C\). Точки \(A\) и \(B\) движутся по окружности так, что угол \(\angle ACB\) постоянен. Докажите, что прямые Симсона точки \(P\) относительно треугольников \(ABC\) касаются одной фиксированной окружности.
C. Подсказка 1. Рассмотрите две проекции \(P\) на \(CA\) и \(CB\).
D. Подсказка 2. Расстояние между ними на окружности с диаметром \(PC\) остаётся постоянным.
E. Полное решение.
Пусть \(A_1\) и \(B_1\) - проекции \(P\) на \(CB\) и \(CA\). Точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на окружности с диаметром \(PC\). Угол \(\angle A_1CB_1\) равен углу \(\angle ACB\), который по условию постоянен.
Следовательно, хорда \(A_1B_1\) окружности с диаметром \(PC\) имеет постоянную длину. Прямая Симсона является прямой \(A_1B_1\). Все хорды фиксированной окружности одной и той же длины касаются концентрической окружности фиксированного радиуса. Значит, все такие прямые Симсона касаются одной фиксированной окружности.
Это уже олимпиадный стиль: прямая Симсона превращается в семейство хорд фиксированной окружности.