Задача
GEO-B3-M04-P016 Прямая Симсона и параллельная высоте
B. Новая оригинальная задача. Пусть \(P\) лежит на описанной окружности \(ABC\), а \(A_1,B_1,C_1\) - его проекции на \(BC,CA,AB\). Докажите, что если \(PA\parallel BC\), то прямая Симсона \(A_1B_1C_1\) параллельна высоте из \(A\).
C. Подсказка 1. Используйте направление прямой Симсона через углы с \(AB\) или \(AC\).
D. Подсказка 2. Условие \(PA\parallel BC\) заменяет угол при \(P\) углом треугольника.
E. Полное решение.
По теореме Симсона точки \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны. Рассмотрим угол между прямой Симсона и \(AB\). Через циклический четырёхугольник \(P,B_1,A,C_1\) он равен углу между \(PB_1\) и \(PA\), то есть углу между перпендикуляром к \(AC\) и прямой, параллельной \(BC\).
Этот угол равен углу между высотой из \(A\) и \(AB\). Следовательно, прямая Симсона имеет то же направление, что высота из \(A\), то есть параллельна ей.
Хорошая задача на направление без тяжёлой теории вращения прямой Симсона.