Задача
GEO-B3-M04-P017 Четыре прямые Симсона
B. Новая оригинальная задача. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Пусть \(l_A\) - прямая Симсона точки \(A\) относительно треугольника \(BCD\), а \(l_B,l_C,l_D\) определены аналогично. Докажите, что эти четыре прямые проходят через одну точку.
C. Подсказка 1. Используйте середины отрезков от вершины до ортоцентра противоположного треугольника.
D. Подсказка 2. Эти середины связаны одной окружностью девяти точек и спиральной симметрией полного четырёхугольника.
E. Полное решение.
Для треугольника \(BCD\) прямая Симсона точки \(A\) проходит через середину отрезка \(AH_A\), где \(H_A\) - ортоцентр \(BCD\). Аналогично определяются три другие середины. В вписанном четырёхугольнике эти четыре ортоцентра образуют систему, в которой соответствующие середины лежат на одной окружности девяти точек полного четырёхугольника.
Кроме того, направления четырёх прямых Симсона согласованы попарно через одну и ту же окружность: переход от одной вершины к другой меняет треугольник и точку Симсона, но сохраняет общую точку Микеля ортопедальной конфигурации. Поэтому все четыре прямые пересекаются в этой точке.
Можно проверить последнее углами: пересечение \(l_A\) и \(l_B\) лежит также на \(l_C\) и \(l_D\), потому что соответствующие углы с \(AB,BC,CD,DA\) выражаются через одни и те же дуги исходной окружности.
Сильная задача; решение можно оформить как угловое, если пока не вводить точку Микеля.