Задача
GEO-B3-M04-P018 Локус середин \(PH\)
B. Новая оригинальная задача. Точка \(P\) движется по описанной окружности \(ABC\), \(H\) - ортоцентр. Докажите, что середина \(PH\) движется по окружности девяти точек и при этом лежит на прямой Симсона точки \(P\).
C. Подсказка 1. Окружность девяти точек - образ описанной окружности при гомотетии с центром \(H\) и коэффициентом \(\frac12\).
D. Подсказка 2. Второй факт - теорема о середине \(PH\) на прямой Симсона.
E. Полное решение.
Гомотетия с центром \(H\) и коэффициентом \(\frac12\) переводит точку \(P\) в середину \(M\) отрезка \(PH\). Поскольку \(P\) движется по описанной окружности, образ этой окружности при такой гомотетии есть окружность девяти точек. Значит, \(M\) движется по окружности девяти точек.
По свойству прямой Симсона для каждой точки \(P\) эта же середина \(M\) лежит на прямой Симсона точки \(P\). Следовательно, оба утверждения выполнены одновременно.
Эта задача связывает движение прямой Симсона с окружностью девяти точек.