Задача
GEO-B3-M04-P019 Локус вырожденных педальных треугольников
#19
★★★★☆ Уровень 4 из 5
B. Новая оригинальная задача. Для фиксированного треугольника \(ABC\) найдите геометрическое место точек \(P\), для которых педальный треугольник \(P\) имеет площадь \(0\).
Inspired by Prasolov Simson and pedal geometry method
C. Подсказка 1. Площадь \(0\) означает коллинеарность трёх проекций.
D. Подсказка 2. Используйте прямую и обратную теоремы Симсона.
E. Полное решение.
Педальный треугольник имеет площадь \(0\) тогда и только тогда, когда его вершины, то есть три проекции точки \(P\), коллинеарны.
По теореме Уоллеса-Симсона это происходит тогда и только тогда, когда \(P\) лежит на описанной окружности треугольника \(ABC\). Следовательно, искомое геометрическое место - описанная окружность \(ABC\).
Формально похоже на уровень 2, но как ГМТ задача требует полного “тогда и только тогда”.