Задача
GEO-B3-M04-P020 Поворот прямой Симсона
B. Новая оригинальная задача. Точка \(P\) проходит по дуге описанной окружности \(ABC\) от \(P_1\) до \(P_2\), причём центральный угол \(\angle P_1OP_2=2\varphi\). Докажите, что угол между прямыми Симсона точек \(P_1\) и \(P_2\) равен \(\varphi\).
C. Подсказка 1. Выразите направление прямой Симсона через вписанный угол с вершиной на окружности.
D. Подсказка 2. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.
E. Полное решение.
Направление прямой Симсона точки \(P\) можно выразить через угол между этой прямой и одной фиксированной стороной, например \(AB\). В доказательстве теоремы Симсона этот угол равен вписанному углу, зависящему от дуги с концом \(P\).
Когда точка \(P\) переходит из \(P_1\) в \(P_2\), соответствующий центральный угол меняется на \(2\varphi\), а вписанный угол - на \(\varphi\). Значит, направление прямой Симсона меняется на \(\varphi\). Поэтому угол между двумя прямыми Симсона равен \(\varphi\).
Это основной динамический факт для задач на семейства прямых Симсона.