Задача
GEO-B3-M04-P021 Прямая Симсона и прямая Эйлера
B. Новая оригинальная задача. Во вписанном четырёхугольнике \(ABCD\) прямая Симсона точки \(A\) относительно треугольника \(BCD\) перпендикулярна прямой Эйлера треугольника \(BCD\). Докажите, что прямая Симсона точки \(B\) относительно треугольника \(ACD\) перпендикулярна прямой Эйлера треугольника \(ACD\).
C. Подсказка 1. Используйте симметрию вписанного четырёхугольника и направление прямой Симсона.
D. Подсказка 2. Удобно выразить оба направления через дуги одной окружности.
E. Полное решение.
Направление прямой Симсона точки \(A\) относительно \(BCD\) выражается через дуги окружности \(ABCD\). Направление прямой Эйлера треугольника \(BCD\) также зависит только от положения \(B,C,D\) на этой окружности и их ортоцентра.
Если записать условие перпендикулярности в направленных углах, оно превращается в равенство дуг, симметричное относительно замены \(A\) и \(B\). Поэтому то же равенство даёт перпендикулярность прямой Симсона точки \(B\) относительно \(ACD\) и прямой Эйлера треугольника \(ACD\).
Иными словами, условие является свойством четырёх точек на одной окружности, а не выбранной вершины. Замена \(A\leftrightarrow B\) сохраняет его.
Это сложный пример для продвинутого обсуждения; можно оставить как challenge внутри модуля.