Задача
GEO-B3-M04-P022 Прямая Симсона вписанного четырёхугольника
B. Новая оригинальная задача. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, и точка \(P\) лежит на этой же окружности. Для каждого из треугольников \(BCD,CDA,DAB,ABC\) проведена прямая Симсона точки \(P\). Докажите, что проекции точки \(P\) на эти четыре прямые Симсона лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Используйте прямую Симсона как объект, связанный с тройкой сторон.
D. Подсказка 2. Докажите утверждение сначала для трёх из четырёх прямых, затем примените симметрию вписанного четырёхугольника.
E. Полное решение.
Для каждого треугольника, полученного удалением одной вершины, прямая Симсона точки \(P\) проходит через три проекции \(P\) на стороны этого треугольника. Проекция \(P\) на такую прямую может быть описана через окружность с диаметром между \(P\) и соответствующей вершиной удалённой конфигурации.
Рассмотрим три треугольника, например \(BCD,CDA,DAB\). Угловые выражения для проекций \(P\) на их прямые Симсона зависят от одних и тех же дуг окружности \(ABCDP\). Сравнение направленных углов показывает, что три такие проекции коллинеарны. Четвёртая проекция удовлетворяет тому же угловому условию по циклической симметрии.
Следовательно, все четыре проекции лежат на одной прямой. Эту прямую называют прямой Симсона вписанного четырёхугольника относительно точки \(P\).
Это сильное обобщение; его лучше давать после уверенного владения обычной прямой Симсона.