Задача
GEO-B3-M05-P003 Критерий симедианы
В треугольнике \(ABC\) чевиана \(AS\) пересекает \(BC\) в точке \(S\). Докажите, что \(AS\) является \(A\)-симедианой тогда и только тогда, когда \(\frac{BS}{CS}=\frac{AB^2}{AC^2}\).
C. Подсказка 1. Сравните \(AS\) с медианой, изогональной ей.
D. Подсказка 2. Для любой чевианы используйте формулу \(\frac{BX}{CX}=\frac{AB\sin\angle BAX}{AC\sin\angle XAC}\).
Для произвольной чевианы \(AX\) по теореме синусов в треугольниках \(ABX\) и \(ACX\) получаем \(\frac{BX}{CX}=\frac{AB\sin\angle BAX}{AC\sin\angle XAC}\).
Если \(AS\) — изогональ медианы \(AM\), то \(\angle BAS=\angle MAC\), \(\angle SAC=\angle BAM\). Так как \(BM=CM\), для медианы имеем \(\frac{\sin\angle BAM}{\sin\angle MAC}=\frac{AC}{AB}\). Подстановка даёт \(\frac{BS}{CS}=\frac{AB^2}{AC^2}\).
Обратно, если это отношение выполнено, то из формулы для чевианы следует, что изогональная к \(AS\) прямая делит \(BC\) поровну, то есть является медианой. Значит, \(AS\) — симедиана.
Этот критерий дальше используется как определение рабочего уровня.