Задача
GEO-B3-M05-P004 Центры трёх правильных треугольников
На сторонах \(ABC\) внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
C. Подсказка 1. Используйте повороты на \(60^\circ\).
D. Подсказка 2. Сравните отрезки между соседними центрами как образы друг друга при повороте.
Пусть \(X,Y,Z\) — центры правильных треугольников на \(BC,CA,AB\). Рассмотрим поворот на \(60^\circ\), связанный с правильным треугольником на стороне \(AB\). Он переводит направление от центра одного построенного треугольника к другому в следующее такое направление.
Тот же аргумент циклически даёт \(XY=YZ=ZX\), а угол между \(XY\) и \(YZ\) равен \(60^\circ\). Поэтому треугольник \(XYZ\) правильный.
Это стартовая версия теоремы Наполеона; позже можно доказывать более общие варианты.