GEO-B3-M05-P005 Существование точки Лемуана

C. Подсказка 1. Используйте критерий симедианы.

D. Подсказка 2. Перемножьте три отношения на сторонах и примените теорему Чевы.

Пусть \(A\)-симедиана пересекает \(BC\) в \(A_1\). Тогда \(\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{c^2}{b^2}\). Аналогично для точек \(B_1\in CA\), \(C_1\in AB\): \(\frac{CB_1}{AB_1}=\frac{a^2}{c^2}\), \(\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{b^2}{a^2}\).

Перемножая, получаем \(1\). По теореме Чевы прямые \(AA_1,BB_1,CC_1\) пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Лемуана \(K\).

Важно проговорить, что используются ориентированные отношения, если точки попадают на продолжения.