Задача
GEO-B3-M05-P006 Касательные дают симедиану
Касательные к описанной окружности треугольника \(ABC\) в точках \(B\) и \(C\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что \(AP\) содержит \(A\)-симедиану треугольника.
C. Подсказка 1. Пусть \(AP\cap BC=S\).
D. Подсказка 2. Докажите \(\frac{BS}{CS}=\frac{AB^2}{AC^2}\) через касательные углы.
По теореме о касательной и хорде \(\angle PBA=\angle ACB\), \(\angle PCB=\angle CAB\), и аналогичные равенства получаются у второй касательной. Пусть \(S=AP\cap BC\).
Из треугольников \(PBS\) и \(PCS\), применяя синусы к углам при \(B\) и \(C\), получаем \(\frac{BS}{CS}=\frac{PB\sin\angle BPS}{PC\sin\angle SPC}\). Так как \(PB=PC\), а углы при \(P\) выражаются через дуги \(AB\) и \(AC\), после применения теоремы синусов в \(ABC\) получаем \(\frac{BS}{CS}=\frac{AB^2}{AC^2}\).
По критерию симедианы прямая \(AS\), а значит и \(AP\), является \(A\)-симедианой.
Эта задача часто служит мостом от окружностей к Лемуану.