Задача
GEO-B3-M05-P017 Педальный треугольник точки Лемуана
Пусть \(A_1,B_1,C_1\) — проекции точки Лемуана \(K\) треугольника \(ABC\) на стороны \(BC,CA,AB\). Докажите, что \(K\) является центром масс треугольника \(A_1B_1C_1\).
C. Подсказка 1. Используйте расстояния от \(K\) до сторон: они пропорциональны \(a:b:c\).
D. Подсказка 2. Разложите векторы \(\overrightarrow{KA_1},\overrightarrow{KB_1},\overrightarrow{KC_1}\) по нормалям к сторонам.
Обозначим единичные внешние нормали к сторонам \(BC,CA,AB\) через \(\vec n_a,\vec n_b,\vec n_c\). Так как \(K\) — точка Лемуана, расстояния от \(K\) до сторон пропорциональны \(a:b:c\). Поэтому \(\overrightarrow{KA_1}=-\lambda a\vec n_a\), \(\overrightarrow{KB_1}=-\lambda b\vec n_b\), \(\overrightarrow{KC_1}=-\lambda c\vec n_c\) для некоторого \(\lambda\).
Для любого треугольника выполняется векторное равенство \(a\vec n_a+b\vec n_b+c\vec n_c=\vec0\): сумма векторов, нормальных к сторонам и пропорциональных их длинам, равна нулю. Следовательно, \(\overrightarrow{KA_1}+\overrightarrow{KB_1}+\overrightarrow{KC_1}=\vec0\). Это ровно условие того, что \(K\) — центр масс треугольника \(A_1B_1C_1\).
Это сильная задача: она связывает Лемуана с педальной геометрией из предыдущего модуля.