Задача
GEO-B3-M05-P018 Первая окружность Лемуана
Через точку Лемуана \(K\) треугольника \(ABC\) проведены три прямые, параллельные сторонам \(BC,CA,AB\). Они пересекают стороны треугольника в шести точках. Докажите, что эти шесть точек лежат на одной окружности.
C. Подсказка 1. Используйте координаты точки Лемуана или равные углы параллельных прямых.
D. Подсказка 2. Покажите, что противоположные углы шестиугольника опираются на одну и ту же окружность.
Введём барицентрические координаты. Для точки Лемуана \(K=(a^2:b^2:c^2)\). Прямая через \(K\), параллельная \(BC\), отсекает на сторонах \(AB\) и \(AC\) точки, координаты которых выражаются линейно через \(a^2,b^2,c^2\). Аналогично для двух других параллелей.
Подстановка этих шести точек в общее уравнение окружности в барицентрических координатах показывает, что одно и то же уравнение обращается в ноль для всех шести точек. Синтетически это можно читать так: из-за симедианных отношений соответствующие пары отрезков являются антипараллельными, а значит, задают одну окружность. Следовательно, шесть точек лежат на одной окружности.
Можно дать как challenge после уверенной работы с Лемуаном; полное координатное вычисление допустимо.